MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [725]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

Os lasers quânticos em cascata (QCLs) são lasers semicondutores que emitem na faixa do infravermelho médio a distante do espectro eletromagnético. Foram demonstrados pela primeira vez por Jerome Faist, Federico Capasso, Deborah Sivco, Carlo Sirtori, Albert Hutchinson e Alfred Cho nos laboratórios da Bell Laboratories em 1994.

Sistemas de materiais

O primeiro QCL foi fabricado no sistema de materiais GaInAs/AlInAs correspondente à estrutura de um substrato InP.^[1] Esse sistema de material específico possui um deslocamento da banda de condução (profundidade do poço quântico) de 520 meV.^[2] Esses dispositivos baseados em InP atingiram níveis muito altos de desempenho em toda a faixa espectral do infravermelho médio, atingindo alta potência, acima da temperatura ambiente, emissão de ondas contínuas.^[3]

Equações de proporção

As populações de sub-bandas são determinadas pelas taxas de espalhamento entre sub-bandas e pela corrente de injeção / extração.

QCLs geralmente são baseados em um sistema de três níveis.^[4] Assumindo que a formação das funções de onda seja um processo rápido comparado à dispersão entre estados, as soluções independentes de tempo para a equação de Schrödinger podem ser aplicadas e o sistema pode ser modelado usando equações de proporção. Cada sub-banda contém um número de elétrons $n_{i}$ (onde $�$ é o índice de sub-banda) que dispersa entre níveis ao longo da vida $\tau _{if}$ (recíproca da taxa média de dispersão inter-banda $W_{if}$ ), onde $�$ e $�$ são os índices inicial e final da sub-banda.^[5]^[6] Supondo que nenhuma outra sub-banda seja preenchida, as equações de proporção para os três lasers de nível são dadas por:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {\mathrm {d} n_{3}}{\mathrm {d} t}}=I_{\mathrm {in} }+{\frac {n_{1}}{\tau _{13}}}+{\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}-{\frac {n_{3}}{\tau _{31}}}-{\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}

{\frac {\mathrm {d} n_{2}}{\mathrm {d} t}}={\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}+{\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}

{\frac {\mathrm {d} n_{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}+{\frac {n_{3}}{\tau _{31}}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{13}}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}-I_{\mathrm {out} }

No estado estacionário, as derivadas de tempo são iguais a zero e $I_{\mathrm {in} }=I_{\mathrm {out} }=I$ . A equação da taxa geral para elétrons na sub-banda i de um sistema de nível N é, portanto:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {\mathrm {d} n_{i}}{\mathrm {d} t}}=\sum \limits _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}}{\tau _{ji}}}-n_{i}\sum \limits _{j=1}^{N}{\frac {1}{\tau _{ij}}}+I(\delta _{iN}-\delta _{i1})

Sob a suposição de que os processos de absorção podem ser ignorados, (ou seja, ${\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}={\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}=0$ , válido a baixas temperaturas) a equação da taxa média fornece

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}={\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}

Portanto, se $\tau _{32}>\tau _{21}$ (por exemplo, $W_{21}>W_{32}$ ) nessa situação $n_{3}>n_{2}$ e uma inversão populacional existirá. A proporção da população é definida como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {n_{3}}{n_{2}}}={\frac {\tau _{32}}{\tau _{21}}}={\frac {W_{21}}{W_{32}}}

Se todas as equações da taxa de estado estacionário N forem somadas, o lado direito se tornará zero, o que significa que o sistema é subdeterminado^[7] e é possível encontrar apenas a taxa relativa de cada sub-banda. Se a densidade total de folhas das transportadoras $N_{\mathrm {2D} }$ no sistema também é conhecido, a população "absoluta" de transportadoras em cada sub-banda pode ser determinada usando:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sum \limits _{i=1}^{N}n_{i}=N_{\mathrm {2D} }

Como uma aproximação, pode-se supor que todas as transportadoras no sistema sejam fornecidas por dopagem. Se a espécie dopante tiver uma energia insignificante de energia de ionização, então $N_{\mathrm {2D} }$ é aproximadamente igual à densidade de dopagem.

Os potenciais de Liènard-Wiechert são a descrição matemática clássica dos potenciais escalar e vetorial de uma carga pontual em movimento. Sua derivação se origina das equações de Maxwell e portanto não é válida no domínio da mecânica quântica.

Potenciais retardados

Pode-se fazer cálculo para determinar os potenciais gerados por uma distribuição qualquer de cargas no espaço, dependentes do tempo. Nesta demonstração, chegamos a conclusão de que os potenciais gerador por uma distribuição dependente do tempo, em um ponto r, num instante de tempo t dependem desta distribuição num instante anterior que é denominado na literatura de tempo retardado. Escrevemos para o potencial elétrico:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'

Aqui, $\rho$ é a densidade de cargas avaliada no tempo retardado $t_{r}$ e $\mathbf {r'}$ é posição das cargas. O tempo retardado é definido como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

t=t_{r}+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

Ou seja, o tempo retardado é devido a um tempo de propagação finito com velocidade c (velocidade da luz), e $|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c$ é o tempo que o sinal levou para se propagar até o ponto $\mathbf {r}$ . Note que $\mathbf {r'}$ deve ser avaliado no tempo retardo também. Analogamente, podemos escrever para o potencial vetor magnético:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'

Onde $\mathbf {J}$ é densidade volumétrica de corrente. É possível particularizar para os casos em 1 e 2 dimensões. Estes são os chamados potenciais retardados de uma distribuição de cargas e correntes.

Demonstração dos potenciais de Liènard-Wiechert

Estamos em condições de deduzir os potenciais de Liènard-Wiechert para uma carga pontual q em movimento, partindo dos potenciais retardados. O problema se torna muito simples com o uso da função delta de Dirac ( $\delta (x)$ ), que tem a seguinte propriedade:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})

Primeiramente, vamos utilizar estas ideias para escrever a densidade de cargas no instante $t_{r}$ .

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})=\int dt'\rho (\mathbf {r'} ,t')\delta (t'-t_{r})

Sendo a carga na posição $\mathbf {w}$ no tempo $t_{r}$ , escrevemos a densidade de cargas na forma:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\rho (\mathbf {r'} ,t')=q\delta (\mathbf {r'-w} )

Inserindo estas definições na integral para o potencial elétrico, obtemos:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int \int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q\delta (\mathbf {r'-w} )\delta (t'-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'dt'

As funções Delta nos permite eliminar as integrais e após alguns passos não triviais, obtemos:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qc}{c|\mathbf {r} -\mathbf {w} |-(\mathbf {r} -\mathbf {w} )\cdot \mathbf {v} }}

Onde $\mathbf {v}$ é a velocidade da partícula e definida como $\mathbf {v} :={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}$ . Obtemos assim o potencial elétrico para uma carga pontual. Este é um dos potenciais de Liènard-Wiechert. O potencial vetor pode ser deduzido de maneira análoga, notando que este pode ser escrito na forma:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {v} \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'

Adotando os mesmos passos, obtemos:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {A(r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {qc\mathbf {v} }{c|\mathbf {r-w} |-(\mathbf {r-w} )\cdot \mathbf {v} }}

A dedução dos potenciais está completa. Podemos fazer uma relação bem simples entre os dois:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {A(r} ,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\varphi (\mathbf {r} ,t)

Lembrando que $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ devem ser avaliados no tempo retardado. Escrito desta forma, fica evidente que o potencial vetor tem a mesma direção da velocidade da partícula.

Em física, uma relação de dispersão expressa a relação existente entre as frequências $�$ e o comprimento de onda $\lambda$ , ou, de forma equivalente,^[1] entre as frequências $�$ e as velocidades $�$ , atrelada a entes físicos de natureza ondulatória (fases) propagando-se em um dado meio material ou mesmo no vácuo. Geralmente, traduz-se mediante uma função ou um gráfico de frequência x comprimento de onda — ou de frequência x velocidade — e quase sempre mostra-se bem dependente do meio de propagação, caracterizando-o inclusive.

De forma similar mas não idêntica, um espectro discrimina a amplitude ou intensidade — o que se traduz, geralmente, por quantidade de energia — das fases como função de suas respectivas frequências. Espectros e relações de dispersão encontram-se certamente relacionados, mas são por definição distintos.

Óptica

A relação de dispersão influi diretamente nas trajetórias de propagação de ondas quando há mudança do meio de propagação, visto que as relações de dispersão são, geralmente, diferentes nos diferentes meios de propagação e que as mudanças nas direções de propagação ocorrem, justamente, em virtude de mudanças nos comprimentos de onda quando ondas com uma dada frequência atravessam a interface entre os diferentes meios. A dependência dessas variações nas direções de propagação com a as frequências ou comprimentos de onda explicam porque a luz branca é, por meio de um fenômeno óptico conhecido por refração, separada em suas várias cores (frequências) ao atravessar um prisma ou mesmo gotas de água. As relações de dispersão para a onda no ar e no vidro, ou no ar e na água, são bem distintas: em ambos os casos as componentes das ondas são fisicamente separadas em função de suas frequências, cada qual sofrendo um maior ou menor desvio em sua trajetória ao mudarem de meio, o que dá origem, por fim, aos espectros e ao arco-iris.

A relação de dispersão é importante para entender como que a energia, o momento ou mesmo a matéria são transportados de um ponto a outro em qualquer meio. O interesse na relação de dispersão provavelmente começou com o interesse na dispersão de ondas na água, como, por exemplo, demostrado por Pierre-Simon Laplace em 1776.^[2]

Mecânica

Em mecânica, o termo relação de dispersão refere-se à relação — normalmente uma função — que estabelece a energia que um dado ente físico possui em função do momento que este transporta. Em partículas livres, no domínio da física clássica — com massas de repouso não nulas e velocidades muito inferiores à da luz — a relação de dispersão é uma função quadrática do momento

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////: $E={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2m}}$ . Essa relação aparece de forma explícita no hamiltoniano para o sistema em questão e conduz à expressão para a energia cinética:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// $E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ao considerar-se que ${\vec {P}}=m{\vec {V}}$ .

A relação acima vale no contexto da física clássica e para partículas completamente livres. Em situações mais específicas, como aquelas encontradas em física do estado sólido, a exemplo no estudo de elétrons confinados na estrutura dos cristais semicondutores, a relação de dispersão para as partículas — no caso os elétrons — pode mostrar-se dependente, inclusive, da direção de propagação delas dentro do sistema. O momento para os elétrons dentro dos cristais é definido de forma adequada à situação, sendo então denominado momento cristalino do elétron.

No âmbito da relatividade ou da mecânica quântica, as expressões que definem o momento das partículas em estudo podem assumir formas também bem distintas da expressão clássica ${\vec {P}}=m{\vec {v}}$ , o mesmo ocorrendo para as expressões da energia, mas, em qualquer caso, a relação entre o momento e a energia — ou seja, a relação de dispersão — mostra-se igualmente importante, sendo geralmente o cerne de qualquer teoria que busque estabelecer a dinâmica de matéria, energia e momento nos sistemas físicos sob seu domínio.

Em qualquer teoria dinâmica, a relação de dispersão mostra-se fundamental, e a partir dela é que se definem outras grandezas geralmente importantes ao estudo, como a massa.

A associação do termo "relação de dispersão" com a relação existente entre energia e momento para os entes físicos com massa de repouso (partículas massivas) decorre diretamente dos princípios estabelecidos por De Broglie e Max Planck no âmbito da física quântica. De Broglie trouxe à luz o fato de que partículas massivas têm comportamento ondulatório, e seus comprimentos de onda encontram-se relacionados aos seus momentos, ao passo que, sob a mesma óptica, Plank mostrou que a energias associadas às partículas quânticas encontram-se relacionadas às frequências das ondas a elas associadas. Estabelecer uma relação entre energia e momento é, assim, estabelecer uma relação entre frequência e comprimento de onda, ou seja, estabelecer uma relação de dispersão, mesmo para o caso de partículas massivas.

Relações de dispersão para o vácuo

Fato curioso e de relevância na mecânica quântica é que, ao passo que o vácuo é um meio não dispersivo para ondas eletromagnéticas (as assim chamadas velocidades de fase são iguais à velocidade de grupo em um pulso eletromagnético — todos com velocidades iguais à "c", a velocidade da luz), o vácuo é um meio dispersivo para ondas de matéria (funções de onda), a velocidade de fase dependendo do momento segundo a relação ^[3]:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$V_{\phi }={\frac {\hbar k}{(2m)}}={\frac {p}{2m}}$ para partículas livres (ondas de matéria planas).

Repare que a velocidade (real) esperada para a partícula não é a velocidade de fase de uma onda plana de matéria (partícula livre), mas sim a velocidade de grupo das ondas que formam o pacote de ondas associado à partícula, a velocidade de grupo obedecendo relação bem mais similar à esperada classicamente:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$V_{g}={\frac {\hbar k}{m}}={\frac {p}{m}}$

na qual, $\hbar$ é a constante reduzida de Planck, p é o módulo do momento e k o número de onda atrelados à partícula em questão.

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